avangard-pressa.ru

Тема №2 «Проверка статистических гипотез» - Математика

Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и получены малые независимые выборки, объемы которых

и ,

где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки, - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Значения вариант и рассчитываются по формулам:

, и , ,

где – номер студенческой группы.

Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе .

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

Решение. Определим объемы выборок:

= = =[2,5]+8=2+8=10

= = =[3]+7=3+7=10.

Далее найдем значения вариант обеих выборок:

x1=1+5,5=6,5; x2=7,5; x3=8,5; x4=9,5; x5=10,5; x6=11,5; x7=12,5; x8=13,5; x9=14,5; x10=15,5;

y1= =2; y2=3; y3=4; y4=5; y5=6; y6=7; y7=8; y8=9; y9=10; y10=11.

Вычислим средние и исправленные дисперсии:

=11;

= ·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)= · 41,25= · 13,756≈9,167,

=6,5;

= ·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=9,167.

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей .

, , так как , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Можно переходить к сравнению математических ожиданий.

, (0,05,18)=2,10, так как то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.

Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»

По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.

Здесь - номер студенческой группы, - номер фамилии студента в журнале.

11,70 12,90 10,32 9,50 5,91 11,56 10,81 9,32 13,00 12,90 7,35 11,80 17,00+ /10 14,10 9,74 9,76 6,96 15,05 14,67 9,73+N/10 11,35 10,51 15,95 12,41 13,56 6,68 13,75 16,95 8,81 10,60+N/10 13,90 9,03 7,39 13,85 11,99 6,23 12,56 12,03 12,97 15,95 11,00 7,76 10,48 12,80 12,05 12,33 5,60- /10 8,80 9,85 10,11+ /10 9,75 13,70 12,09 13,40 9,02 6,67 12,37 11,67 12,00 13,60 15,21 9,70 13,70 16,10 13,60 14,40 14,75 8,06 13,01 10,70+N/10 13,57 15,30 12,30 15,85 17,60 11,25 12,75 11,50 12,27 11,50 9,21 10,79 11,11 12,31 16,80 16,20 10,36 6,86 12,90 8,64+(N+ )/10 14,90 16,00 12,00 12,31 9,35 16,60 15,67 15,33 8,69+ /10 12,07

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.

Решение.

11,70 12,90 10,32 9,50 5,91 11,56 10,81 9,32 13,00 12,90 7,35 11,80 17,00 14,10 9,74 9,76 6,96 15,05 14,67 9,73 11,35 10,51 15,95 12,41 13,56 6,68 13,75 16,95 8,81 10,60 13,90 9,03 7,39 13,85 11,99 6,23 12,56 12,03 12,97 15,95 11,00 7,76 10,48 12,80 12,05 12,33 5,60 8,80 9,85 10,11 9,75 13,70 12,09 13,40 9,02 6,67 12,37 11,67 12,00 13,60 15,21 9,70 13,70 16,10 13,60 14,40 14,75 8,06 13,01 10,70 13,57 15,30 12,30 15,85 17,60 11,25 12,75 11,50 12,27 11,50 9,21 10,79 11,11 12,31 16,80 16,20 10,36 6,86 12,90 8,64 14,90 16,00 12,00 12,31 9,35 16,60 15,67 15,33 8,69 12,07

Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.


5,60 8,06 9,50 10,48 11,50 12,05 12,56 13,56 14,40 15,95 5,91 8,64 9,70 10,51 11,50 12,07 12,75 13,57 14,67 15,95 6,23 8,69 9,73 10,60 11,56 12,09 12,80 13,60 14,75 16,00 6,67 8,80 9,74 10,70 11,67 12,27 12,90 13,60 14,90 16,10 6,68 8,81 9,75 10,79 11,70 12,30 12,90 13,70 15,05 16,20 6,86 9,02 9,76 10,81 11,80 12,31 12,90 13,70 15,21 16,60 6,96 9,03 9,85 11,00 11,99 12,31 12,97 13,75 15,30 16,80 7,35 9,21 10,11 11,11 12,00 12,33 13,00 13,85 15,33 16,95 7,39 9,32 10,32 11,25 12,00 12,37 13,01 13,90 15,67 17,00 7,76 9,35 10,36 11,35 12,03 12,41 13,40 14,10 15,85 17,60

1) находим размах выборки:

,

2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:

,

3) находим величину классового интервала:

,

4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:

,

,

и так далее,

,

и так далее.

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:

Границы интервалов Середина интервала Эмпирическая частота 4,815 6,385 5,600 6,385 7,956 7,171 7,956 9,527 8,741 9,527 11,097 10,312 11,097 12,668 11,883 12,668 14,239 13,453 14,239 15,809 15,024 15,809 17,380 16,595 17,380 18,951 18,165

Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:

, .

Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:

Границы интервалов Границы интервалов - - 4,815 6,385 - -5,497 -1,921 -0,5 -0,4726 0,0274 2,74 6,385 7,956 -5,497 -3,927 -1,921 -1,372 -0,4726 -0,4147 0,0579 5,79 7,956 9,527 -3,927 -2,356 -1,372 -0,823 -0,4147 -0,2939 0,1208 12,08 9,527 11,097 -2,356 -0,785 -0,823 -0,274 -0,2939 -0,1064 0,1875 18,75 11,097 12,668 -0,785 0,785 -0,274 0,274 -0,1064 0,1064 0,2128 21,28 12,668 14,239 0,785 2,356 0,274 0,823 0,1064 0,2939 0,1875 18,75 14,239 15,809 2,356 3,923 0,823 1,372 0,2939 0,4147 0,1208 12,08 15,809 17,380 3,923 5,497 1,372 1,921 0,4147 0,4726 0,0579 5,79 17,380 18,951 5,497 - 1,921 0,4726 0,5 0,0274 2,74

Найдём наблюдаемые значения и .


2,74 0,03 0,0274 0,03 0,0274 0,0026 0,0247 5,79 0,07 0,0579 0,10 0,0853 0,0147 0,2529 12,08 0,11 0,1208 0,21 0,2061 0,0039 0,0966 18,75 0,16 0,1875 0,37 0,3936 0,0236 0,4033 21,28 0,24 0,2128 0,61 0,6064 0,0036 0,3477 18,75 0,19 0,1875 0,80 0,7939 0,0061 0,0033 12,08 0,09 0,1208 0,89 0,9147 0,0247 0,7853 5,79 0,10 0,0579 0,99 0,9726 0,0174 3,0612 2,74 0,01 0,0274 1,00 1,00 1,1050 = =0,0247 =0,247 = =6,080

Критические значения находим в соответствующих таблицах:

= , так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично

, так как < , то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.

Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.

-6,283 118,428 -744,083 4675,073 -4,712 155,421 -732,344 3450,805 -3,142 108,59 -341,19 1072,019 -1,571 39,489 -62,037 97,46 1,57 46,833 73,528 115,439 3,141 88,793 278,899 876,022 4,172 222,029 1046,201 4929,699 6,282 39,476 247,988 1557,861 8,19 -2,33 167,744 11,883 8,274 2,876 -0,0979 -0,548 12,064 11,948

Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

Рис.: , где ,

,

Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .

, где , ,

,

,

.